用CBLAS / LAPACK进行C中的对称矩阵求逆

我在C中编写一个需要矩阵和向量乘法的算法。 我有一个矩阵Q （W x W），它是通过将矢量J （1 x W）的转置与其自身相乘并添加使用标量a缩放的单位矩阵I而 创建的 。

Q = [（J ^ T）* J + aI]。

然后我必须将Q的倒数乘以向量G以得到向量M.

M =（Q ^（ – 1））* G.

我正在使用cblas和clapack来开发我的算法。 当使用随机数（类型float）填充矩阵Q并使用例程sgetrf_和sgetri_反转时 ，计算的逆是正确的 。

但是当矩阵Q是对称的时，你乘以（J ^ T）x J就是这种情况，计算出的逆是错误的！ 。

我知道从C调用lapack例程时数组的行主要（在C中）和列主要（在FORTRAN中）格式，但对于对称矩阵，这应该不是问题，因为A ^ T = A.

我已经在下面附加了我的C函数代码用于矩阵求逆。

我相信有更好的方法来解决这个问题。 谁能帮我这个？

使用cblas的解决方案会很棒……

谢谢。 

void InverseMatrix_R(float *Matrix, int W) { int LDA = W; int IPIV[W]; int ERR_INFO; int LWORK = W * W; float Workspace[LWORK]; // - Compute the LU factorization of a M by N matrix A sgetrf_(&W, &W, Matrix, &LDA, IPIV, &ERR_INFO); // - Generate inverse of the matrix given its LU decompsotion sgetri_(&W, Matrix, &LDA, IPIV, Workspace, &LWORK, &ERR_INFO); // - Display the Inverted matrix PrintMatrix(Matrix, W, W); } void PrintMatrix(float* Matrix, int row, int colm) { int i,k; for (i =0; i < row; i++) { for (k = 0; k < colm; k++) { printf("%g, ",Matrix[i*colm + k]); } printf("\n"); } }

我不知道BLAS或LAPACK，所以我不知道是什么原因导致这种行为。

但是，对于给定forms的矩阵，计算逆是非常容易的。 对此的重要事实是 

 (J^T*J)^2 = (J^T*J)*(J^T*J) = J^T*(J*J^T)*J =  * (J^T*J)

其中表示内部产品（如果组件是真实的 – 复杂组件的规范双线性forms，但是你可能不会考虑转置而是共轭转置，你会回到内部产品）。

要概括， 

 (J^T*J)^n = ()^(n-1) * (J^T*J), for n >= 1.

让我们用S表示对称方阵(J^T*J) ，用q表示标量 。 那么，对于一般来说，绝对值足够大a != 0 （ |a| > q ）： 

 (a*I + S)^(-1) = 1/a * (I + a^(-1)*S)^(-1) = 1/a * (I + ∑ (-1)^k * a^(-k) * S^k) k>0 = 1/a * (I + (∑ (-1)^k * a^(-k) * q^(k-1)) * S) k>0 = 1/a * (I - 1/(a+q)*S) = 1/a*I - 1/(a*(a+q))*S

除了a = 0和a = -q ，该公式（通过解析性）保持所有a ，这可以通过计算来validation 

 (a*I + S) * (1/a*I - 1/(a*(a+q))*S) = I + 1/a*S - 1/(a+q)*S - 1/(a*(a+q))*S^2 = I + 1/a*S - 1/(a+q)*S - q/(a*(a+q))*S = I + ((a+q) - a - q)/(a*(a+q))*S = I

使用S^2 = q*S

该计算也比首先找到LU分解更简单，更有效。

您可能想尝试Armadillo ，这是一个易于使用的LAPACK C ++包装器。 它提供了几个与逆相关的函数：

  • inv（） ，general inverse，具有对称正定矩阵的可选加速
  • pinv（） ，伪逆
  • solve（） ，求解一个线性方程组（可以是超定或欠定），而不做实际逆

3×3矩阵求逆的示例，请访问sgetri.f了解更多信息 

 //__CLPK_integer is typedef of int //__CLPK_real is typedef of float __CLPK_integer ipiv[3]; { //Compute LU lower upper factorization of matrix __CLPK_integer m=3; __CLPK_integer n=3; __CLPK_real *a=(float *)this->m1; __CLPK_integer lda=3; __CLPK_integer info; sgetrf_(&m, &n, a, &lda, ipiv, &info); } { //compute inverse of a matrix __CLPK_integer n=3; __CLPK_real *a=(float *)this->m1; __CLPK_integer lda=3; __CLPK_real work[3]; __CLPK_integer lwork=3; __CLPK_integer info; sgetri_(&n, a, &lda, ipiv, work, &lwork, &info); }
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