Newton Raphson与SSE2 – 有人可以解释我这3行

我正在阅读这份文件： http ： //software.intel.com/en-us/articles/interactive-ray-tracing

我偶然发现了这三行代码：

SIMD版本已经快了很多，但我们可以做得更好。 英特尔为SSE2指令集添加了快速1 / sqrt（x）函数。 唯一的缺点是它的精度有限。 我们需要精度，所以我们使用Newton-Rhapson来改进它：

__m128 nr = _mm_rsqrt_ps( x ); __m128 muls = _mm_mul_ps( _mm_mul_ps( x, nr ), nr ); result = _mm_mul_ps( _mm_mul_ps( half, nr ), _mm_sub_ps( three, muls ) ); 

此代码假定存在名为“half”（四次0.5f）和变量“three”（四次3.0f）的__m128变量。

我知道如何使用Newton Raphson计算函数的零，我知道如何使用它来计算数字的平方根，但我只是看不出这个代码如何执行它。

有人可以向我解释一下吗？

Answer 1

鉴于牛顿迭代 ，在源代码中看到这一点应该非常简单。

  __m128 nr = _mm_rsqrt_ps( x ); // The initial approximation y_0 __m128 muls = _mm_mul_ps( _mm_mul_ps( x, nr ), nr ); // muls = x*nr*nr == x(y_n)^2 result = _mm_mul_ps( _mm_sub_ps( three, muls ) // this is 3.0 - mul; /*multiplied by */ __mm_mul_ps(half,nr) // y_0 / 2 or y_0 * 0.5 ); 

确切地说，该算法用于反平方根 。

请注意，这仍然无法提供完全准确的结果 。 具有NR迭代的rsqrtps提供了近23位的精度，而sqrtps的24位具有正确的最后一位舍入。

如果要将结果截断为整数，则精度有限是一个问题。 (int)4.99999是4 。 另外，如果使用sqrt(x) ~= x * sqrt(x) ，请注意x == 0.0情况，因为0 * +Inf = NaN 。

Answer 2

为了计算a平方根，牛顿方法应用于方程0=f(x)=ax^(-2) ，导数f'(x)=2*x^(-3) ，因此迭代步骤

 N(x) = x - f(x)/f'(x) = x - (a*x^3-x)/2 = x/2 * (3 - a*x^2) 

与全局收敛的Heron方法相比，这种无除法方法具有有限的收敛区域，因此您需要已经很好地逼近逆平方根以获得更好的近似。