从双精度参数开始的80位扩展精度计算的属性
以下是插值函数的两种实现。 参数u1始终在0.和1.之间。
#include double interpol_64(double u1, double u2, double u3) { return u2 * (1.0 - u1) + u1 * u3; } double interpol_80(double u1, double u2, double u3) { return u2 * (1.0 - (long double)u1) + u1 * (long double)u3; } int main() { double y64,y80,u1,u2,u3; u1 = 0.025; u2 = 0.195; u3 = 0.195; y64 = interpol_64(u1, u2, u3); y80 = interpol_80(u1, u2, u3); printf("u2: %a\ny64:%a\ny80:%a\n", u2, y64, y80); }
在具有80位long double s的严格IEEE 754平台上， interpol_64()中的所有计算均根据IEEE 754双精度进行，而interpol_64()则以80位扩展精度进行。 程序打印：
u2: 0x1.8f5c28f5c28f6p-3 y64:0x1.8f5c28f5c28f5p-3 y80:0x1.8f5c28f5c28f6p-3
我对属性感兴趣“函数返回的结果总是介于u2和u3之间”。 此属性为interpol_64() false，如上面main()的值所示。
该物业是否有机会成为interpol_80()真实情况？ 如果不是，反例是什么？ 如果我们知道u2 != u3或者它们之间有最小距离会有帮助吗？ 是否有一种方法可以确定中间计算的有效位宽度，在该计算中，属性将保证为真？
编辑：在我尝试的所有随机值上，当在内部以扩展精度完成中间计算时，属性保持不变。 如果interpol_80()采用long double参数，那么构建一个反例也相对容易，但这里的问题具体是关于一个带double参数的函数。 这使得构建反例（如果有的话）变得更加困难。
注意：生成x87指令的编译器可能会为interpol_64()和interpol_80()生成相同的代码，但这与我的问题相关。
是的，interpol_80（）是安全的，让我们来certificate一下。
问题表明输入是64位浮点数
rnd64(ui) = ui
结果是完全的（假设*和+是数学运算）
r = u2*(1-u1)+(u1*u3)
舍入为64位浮点数的最佳返回值为
r64 = rnd64(r)
因为我们有这些属性
u2 <= r <= u3
这是有保证的
rnd64(u2) <= rnd64(r) <= rnd64(u3) u2 <= r64 <= u3
转换为80位的u1，u2，u3也是准确的。
rnd80(ui)=ui
现在，假设0 <= u2 <= u3 ，然后执行不精确的浮点运算导致最多4个舍入错误：
rf = rnd(rnd(u2*rnd(1-u1)) + rnd(u1*u3))
假设舍入到最接近的偶数，则精确值最多为2 ULP。 如果使用64位浮点数或80位浮点数执行舍入：
r - 2 ulp64(r) <= rf64 <= r + 2 ulp64(r) r - 2 ulp80(r) <= rf80 <= r + 2 ulp80(r)
rf64可以关闭2 ulp所以interpol-64（）是不安全的，但rnd64( rf80 )怎么样？
我们可以说：
rnd64(r - 2 ulp80(r)) <= rnd64(rf80) <= rnd64(r + 2 ulp80(r))
因为0 <= u2 <= u3 ，那么
ulp80(u2) <= ulp80(r) <= ulp80(r3) rnd64(u2 - 2 ulp80(u2)) <= rnd64(r - 2 ulp80(r)) <= rnd64(rf80) rnd64(u3 + 2 ulp80(u3)) >= rnd64(r + 2 ulp80(r)) >= rnd64(rf80)
幸运的是，就像范围内的每个数字(u2-ulp64(u2)/2 , u2+ulp64(u2)/2)我们得到的
rnd64(u2 - 2 ulp80(u2)) = u2 rnd64(u3 + 2 ulp80(u3)) = u3
因为ulp80(x)=ulp62(x)/2^(64-53)
因此，我们得到证据
u2 <= rnd64(rf80) <= u3
对于u2 <= u3 <= 0，我们可以轻松应用相同的证明。
最后要研究的案例是u2 <= 0 <= u3。 如果我们减去2个大值，那么结果可以达到ulp（大）/ 2关闭而不是ulp（大 - 大）/ 2 ......
因此，我们所做的断言不再适用：
r - 2 ulp64(r) <= rf64 <= r + 2 ulp64(r)
幸运的是， u2 <= u2*(1-u1) <= 0 <= u1*u3 <= u3并且在舍入后保留
u2 <= rnd(u2*rnd(1-u1)) <= 0 <= rnd(u1*u3) <= u3
因此，由于增加的数量符号相反：
u2 <= rnd(u2*rnd(1-u1)) + rnd(u1*u3) <= u3
四舍五入之后也是如此，所以我们可以再次保证
u2 <= rnd64( rf80 ) <= u3
QED
为了完整，我们应该关注非正规输入（逐渐下溢），但我希望你不会对压力测试产生恶意。 我不会certificate那些会发生什么......
编辑 ：
这是一个后续行动，因为以下断言有点近似，并在0 <= u2 <= u3时生成一些注释
r - 2 ulp80(r) <= rf80 <= r + 2 ulp80(r)
我们可以写出以下不等式：
rnd(1-u1) <= 1 rnd(1-u1) <= 1-u1+ulp(1)/4 u2*rnd(1-u1) <= u2 <= r u2*rnd(1-u1) <= u2*(1-u1)+u2*ulp(1)/4 u2*ulp(1) < 2*ulp(u2) <= 2*ulp(r) u2*rnd(1-u1) < u2*(1-u1)+ulp(r)/2
对于下一轮操作，我们使用
ulp(u2*rnd(1-u1)) <= ulp(r) rnd(u2*rnd(1-u1)) < u2*(1-u1)+ulp(r)/2 + ulp(u2*rnd(1-u1))/2 rnd(u2*rnd(1-u1)) < u2*(1-u1)+ulp(r)/2 + ulp(r)/2 rnd(u2*rnd(1-u1)) < u2*(1-u1)+ulp(r)
对于总和的第二部分，我们有：
u1*u3 <= r rnd(u1*u3) <= u1*u3 + ulp(u1*u3)/2 rnd(u1*u3) <= u1*u3 + ulp(r)/2 rnd(u2*rnd(1-u1))+rnd(u1*u3) < u2*(1-u1)+u1*u3 + 3*ulp(r)/2 rnd(rnd(u2*rnd(1-u1))+rnd(u1*u3)) < r + 3*ulp(r)/2 + ulp(r+3*ulp(r)/2)/2 ulp(r+3*ulp(r)/2) <= 2*ulp(r) rnd(rnd(u2*rnd(1-u1))+rnd(u1*u3)) < r + 5*ulp(r)/2
我没有certificate原来的说法，但不是那么远......
interpol_64精度损失的主要来源是乘法。 乘以两个53位尾数产生105或106位（取决于高位是否携带）尾数。 这太大而不适合80位扩展精度值，因此通常，80位版本中也会出现精度损失。 准确地量化它何时发生是非常困难的; 最容易说的是，当舍入错误累积时会发生这种情况。 请注意，添加这两个术语时，还会有一个小的舍入步骤。
大多数人可能会用以下函数解决这个问题：
double interpol_64(double u1, double u2, double u3) { return u2 + u1 * (u3 - u2); }
但看起来您正在寻找对四舍五入问题的洞察力，而不是更好的实施。