为什么double可以存储比unsigned long long更大的数字？
问题是，我不太清楚为什么double可以存储比unsigned long long更大的数字。 由于它们都是8字节长，所以64位。
在无符号长long中，所有64位用于存储值，另一方面double表示1表示，11表示指数，52表示尾数。 即使用于尾数的52位将用于存储没有浮点的十进制数，它仍然有63位……
但LLONG_MAX明显小于DBL_MAX ……
为什么？
原因是unsigned long long将存储精确整数，而double存储尾数（具有有限的52位精度）和指数。
这允许double存储非常大的数字（大约10 308 ）但不完全。 在double你有大约15个（几乎16个）有效十进制数字，其余308个可能的小数是零（实际上是未定义的，但为了更好地理解，你可以假设为“零”）。
unsigned long long只有19位数，但它们中的每一位都是精确定义的。
编辑：
在回复下面的注释“这是如何工作”时 ，符号为1位，指数为11位，尾数为52位。 尾数在开头有一个隐含的“1”位，没有存储，所以有效地你有53个尾数位。 2 53是9.007E15，因此您有15个，几乎16个十进制数字可供使用。
指数有一个符号位，范围从-1022到+1023，用于缩放（二进制左移或右移）尾数（2 1023约为10 307 ，因此限制范围），所以非常小，这种格式同样可以使用非常大的数字。
但是，当然，您可以表示的所有数字都只具有适合matissa的精度。
总而言之，浮点数不是很直观，因为“简单”十进制数不一定表示为浮点数。 这是因为尾数是二进制的。 例如，可以（并且很容易）表示任何高达几十亿的正整数，或者数字如0.5或0.25或0.0125，具有完美的精度。
另一方面，也可以表示像10 250这样的数字，但只能大约表示。 事实上，你会发现10 250和10 250 +1是相同的数字（等待，什么???）。 这是因为尽管您可以轻松拥有250个数字，但您没有那么多有效数字（将“重要”视为“已知”或“已定义”）。
此外，尽管0.3甚至不是“大”数字，但代表看起来像0.3这样简单的东西也是可能的。 但是，你不能用二进制表示0.3，无论你附加什么二进制指数，你都不会发现任何二进制数正好导致0.3（但你可以非常接近）。
一些“特殊值”保留为“无穷大”（正面和负面）以及“非数字”，因此您的理论范围略小于理论范围。
另一方面， unsigned long long不会以任何方式解释位模式。 您可以表示的所有数字都只是位模式表示的确切数字。 每个数字的每个数字都是精确定义的，不会发生缩放。
IEEE754浮点值可以存储更大范围的数字，因为它们牺牲了精度。
通过这种方式，我的意思是64位整数类型可以表示其范围内的每个单独值，但64位双精度表示不能。
例如，尝试将0.1存储为双精度实际上不会给你0.1 ，它会给你类似的东西：
0.100000001490116119384765625
（这实际上是最接近的单精度值，但同样的效果将适用于双精度）。
但是，如果问题是“如何使用更少的可用位来获得更大的范围？”，则只需使用其中一些位来扩展该值。
经典示例，假设您有四位十进制数来存储值。 使用整数，您可以表示数字0000到9999含）。 该范围内的精度是完美的，您可以表示每个积分值。
但是，让我们去浮点并使用最后一位作为比例，以便数字1234实际上代表数字123 x 10 4 。
所以现在你的范围从0 （由0000到0009表示）到999,000,000,000 （由9999表示为999 x 10 9 ）。
但是你不能代表该范围内的每个数字。 例如，无法表示123,456 ，您可以获得的数字1233为123,000 。 事实上，在整数值精度为四位数的情况下，现在只有三位数。
这基本上是IEEE754的工作方式，牺牲了范围的精度。
放弃
这是尝试提供有关浮点编码如何工作的易于理解的解释。 这是一种简化，它不包括真正的IEEE 754浮点标准的任何技术方面（归一化，有符号零，无穷大，NaN，舍入等）。 但是，这里提出的想法是正确的。
理解浮点数如何工作受到严重阻碍，因为计算机使用基数为2数字，而人类不能轻易处理它们。 我将尝试解释浮点数如何使用基数10 。
让我们使用符号和基数10位数来构造浮点数表示（即我们每天使用的0到9的常用数字）。
假设我们有10方格单元格，每个单元格可以包含符号（ +或- ）或十进制数字（ 0或9 ）。
我们可以使用10位数来存储有符号整数。 符号的一位数和值的9位数：
sign -+ +-------- 9 decimal digits -----+ vvv +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ | + | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 5 | 0 | 0 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
这是值1500表示为整数的方式。
我们也可以用它们来存储浮点数。 例如，尾数为7位，指数为3位：
+------ sign digits --------+ vv +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ | + | 0 | 0 | 0 | 1 | 5 | 0 | + | 0 | 1 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ |<-------- Mantissa ------->|<-- Exp -->|
这是1500作为浮点值的可能表示之一（使用我们的10位十进制数字表示）。
尾数（ M ）的值是+150 ，指数（ E ）的值是+1 。 上面显示的值是：
V = M * 10^E = 150 * 10^1 = 1500
范围
整数表示可以存储-(10^9-1) （ – -999,999,999 ）和+(10^9-1) （ +(10^9-1) -999,999,999 ）之间的有符号值。 此外，它可以表示这些限制之间的每个整数值。 更重要的是，每个值都有一个表示，而且确切。
浮点表示可以存储-999,999和+999,999之间的尾数（ M ）以及-99和+99之间的指数（ E ）的有符号值。
它可以存储-999,999*10^99和+999,999*10^99 。 这些数字有105位数，远远超过上面整数表示的最大数字的9位数。
松散的精确度
让我们注意，对于整数值， M存储符号和值的前6位（或更少）， E是不适合M的位数。
V = M * 10^E
让我们尝试使用我们的浮点编码来表示V = +987,654,321 。
因为M限制在+999,999它只能存储+987,654而E将是+3 （ V的最后3位数不能适合M ）。
把它们放在一起：
+987,654 * 10^(+3) = +987,654,000
这不是我们原来的V值，而是我们可以使用这种表示得到的最佳近似值。
让我们注意到（+包括） +987,654,000和+987,654,999之间的所有数字都使用相同的值（ M=+987,654, E=+3 ）进行近似。 此外，没有办法存储大于+999,999数字的十进制数字。
作为一般规则，对于大于M （ +999.999 ）的最大值的数字，此方法为+999,999*10^E和+999,999*10^(E+1)-1 （整数+999,999*10^(E+1)-1之间的所有值生成相同的表示或真正的价值观，没关系）。
结论
对于较大的值（大于M的最大值），浮点表示在它可以表示的数字之间存在间隙。 随着E值的增加，这些差距变得越来越大。
“浮点”的整个概念是存储十几个最具代表性的数字（数字的开头）和数字的大小。
我们以光速为例。 它的价值约为300,000 km/s 。 如此庞大，对于大多数实际用途，你不关心它是300,000.001 km/s还是300,000.326 km/s 。
事实上，它甚至不是那么大，更好的近似值是
299,792.458 km/s。
浮点数提取了光速的重要特征：其幅度为数十万km / s（ E=5 ），其值为3 （数十万km / s）。
speed of light = 3*10^5 km/s
我们的浮点表示可以近似为： 299,792 km/s （ M=299,792 ， E=0 ）。
发生了什么样的魔法？
同样的魔力可以让你代表101位数字
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
如
1.0 * 10 100
它只是代替基数10你在基地2中做到了：
0.57149369564113749110789177415267 * 2 333 。
此表示法允许您以紧凑的方式表示非常大（或非常小）的值。 您可以存储有效数字（也就是尾数或分数）和指数 ，而不是存储每个数字。 这样，数百个十进制数字长的数字可以用只占64位的格式表示。
它是指数，允许浮点数表示如此大范围的值。 指数值1024仅需要10位来存储，但是2 1024是308位数。
权衡是不是每个值都可以准确表示。 对于64位整数， 0到2 64 -1 （或-2 63到2 63 -1 ）之间的每个值都具有精确的表示。 由于几个原因，浮点数不是这样。 首先，你只有这么多位，只给你很多精度数字。 例如，如果您只有3位有效数字，那么您不能表示0.123和0.124之间，或1.23和1.24，或123和124，或1230000和1240000之间的值。当您接近范围的边缘时，可表示值之间的差距变得更大。
其次，就像有些值不能用有限数量的数字表示（ 3/10给出非终止序列0.33333... 10 ），有些值不能用有限的位数表示（ 1/10给出了非终止序列1.100110011001... 2 ）。
也许你觉得“以N位存储一个数字”是一个基本的东西，而有各种方法可以做到这一点。 事实上，我们更准确地说我们用N位表示一个数字，因为其含义取决于我们采用的惯例。 原则上，我们可以采用任何我们喜欢的约定，其中N位模式代表不同的数字。 有二元约定，用于unsigned long long和其他整数类型，以及用于double的尾数+指数约定，但我们也可以定义我们自己的（荒谬）约定，例如，所有位零表示您需要指定的任何大数字。 在实践中，我们通常使用允许我们使用运行程序的硬件有效地组合（添加，乘法等）数字的约定。
也就是说，你的问题必须通过比较最大的二进制N位数和最大数量的2^exponent * mantissa来回答，其中exponent mantissa是E-和M-位二进制数（隐含1为尾数的开始）。 那是2^(2^E-1) * (2^M - 1) ，这通常确实远大于2^N - 1 。
Damon和Paxdiablo解释的一个小例子：
#include int main(void) { double d = 2LL<<52; long long ll = 2LL<<52; printf("d:%.0f ll:%lld\n", d, ll); d++; ll++; printf("d:%.0f ll:%lld\n", d, ll); }
输出：
d:72057594037927936 ll:72057594037927936 d:72057594037927936 ll:72057594037927937
两个变量都会以相同的方式递增，移位为51或更小。