printf语句中转换的百分比如何？

也许这不属于SO，但我不知道在哪里。

我必须用C重新实现printf(3)而不使用任何可以为我做转换的函数，我差不多完成了，但是我被困在%a ，我真的不明白这里发生了什么，例如：

 printf("%a\n", 3.0); //#=> 0x1.8p+1 printf("%a\n", 3.1); //#=> 0x1.8cccccccccccdp+1 printf("%a\n", 3.2); //#=> 0x1.999999999999ap+1 printf("%a\n", 3.3); //#=> 0x1.a666666666666p+1 printf("%a\n", 3.4); //#=> 0x1.b333333333333p+1 printf("%a\n", 3.5); //#=> 0x1.cp+1 printf("%a\n", 3.6); //#=> 0x1.ccccccccccccdp+1 

我当然读到了那个说：

double参数被舍入并在样式[ – ] 0xh.hhhp [+ – ] d中转换为hex表示法，其中hex点字符后面的位数等于精度规范。

但这并没有真正帮助我不理解将3.2转换为1.999999999999ap+1

我不需要任何代码，但更多的解释。

PS：如果这不是这个问题的地方，你可以指引我到正确的地方吗？

编辑：虽然@juhist答案适用于数字> = 1.0但它没有解释如何获得0.0和1.0之间的数字的结果：

 printf("%a\n", 0.01); //#=> 0x1.47ae147ae147bp-7 printf("%a\n", 0.1); //#=> 0x1.999999999999ap-4 printf("%a\n", 0.2); //#=> 0x1.999999999999ap-3 printf("%a\n", 0.3); //#=> 0x1.3333333333333p-2 printf("%a\n", 0.4); //#=> 0x1.999999999999ap-2 printf("%a\n", 0.5); //#=> 0x1p-1 printf("%a\n", 0.6); //#=> 0x1.3333333333333p-1 

另外，我真的希望精确到此The "a" near the end occurs due to limited floating point calculation precision有关转换的The "a" near the end occurs due to limited floating point calculation precision ， The "a" near the end occurs due to limited floating point calculation precision ： printf("%a\n", 3.2); //#=> 0x1.999999999999ap+1 printf("%a\n", 3.2); //#=> 0x1.999999999999ap+1

编辑2：现在最后一个谜是解释为什么在这种情况下：

 printf("%a\n", 0.1); //#=> 0x1.999999999999ap-4 

最后9变为a和在这种情况下：

 printf("%a\n", 0.3); //#=> 0x1.3333333333333p-2 

最后3留3 ？

Answer 1

首先你需要知道表示0xh.hhhh p±d,是什么意思？ 让我们通过一个hex常量0x1.99999ap+1的例子来理解它。
小数点前的数字1是hex数字，后面的hex数字（ 99999a ）等于精度。 0x是hex导入器， p是指数字段。 指数是一个十进制数，表示有效部分乘以2的幂。

因此，当0x1.99999ap+1乘以2 1 ，它将以十进制转换为3.2 。 回想一下1.55e+1如何以十进制转换为15.500000 。 类似的事情发生在这里。

现在你需要知道0x1.99999ap+1转换为3.2背后的数学。 这将如下进行

1 * 16 ⁰ + 9 * 16 ^-1 + 9 * 16 ^-2 + 9 * 16 ^-3 + 9 * 16 ^-4 + 9 * 16 ^-5 + 10 * 16 ^-1

这是（十进制）等于

  1.60000002384185791015625 

您只需要1个精度。 所以，取1.6并乘以2 1 。 哪个会给3.2 。

要转到上述过程的反向，您需要找到2的幂，浮点数将被分割以获得小数点前的数字1 。 之后使用连续乘法将小数部分更改为hex分数。 请按以下步骤操作：

1. 3.2 / 2 ¹ = 1.6
2. 从1.6中取整数部分以获得小数点前的hex数字1 。
3. 乘以.6乘以16 。 获得的整数部分将成为hex分数中的数字。 使用获得的小数部分重复此步骤以达到所需的精度（默认值为6）。

• .6 * 16 = 9.6 —>积分= 9分数= .6
• .6 * 16 = 9.6 —>积分= 9分数= .6
• .6 * 16 = 9.6 —>积分= 9分数= .6
• .6 * 16 = 9.6 —>积分= 9分数= .6
• .6 * 16 = 9.6 —>积分= 9分数= .6
• .6 * 16 = 9.6 —>积分= 9分数= .6

因此，hex分数将变为.999999现在组合hex指示符0x ，小数点前的hex数和与指数字段一起获得的hex分数以获得结果。

3.2 ₁₀ = 0x1.999999p + 1 ₁₆

类似地，您可以获得小于1.0数字的hex浮点数，例如0.01 。 在这种情况下，要获得小数点前的hex数1 ，您需要将其除以幂为2 。 由于乘以0.01后的128 （2 ⁵ ）将给出其积分部分变为1 ， 128*.01 = 1.28 。 这意味着你需要乘以0.01乘1/2 – 或者你可以说你需要将它除以2 ^-5得到1.28 。 现在应用上述步骤2和3。

Answer 2

这是一个容易回答的问题。

明显的解释是（1 + 9.0 / 16 + 9.0 /(16 * 16）+9.0 /(16 * 16 * 16）+9.0 /(16 * 16 * 16 * 16）+ …）* 2 = 3.2

你可以通过五个第一个术语轻松validation这一点并将其写入Python解释器：（1 + 9.0 / 16 + 9.0 /（16 * 16）+ 9.0 /（16 * 16 * 16）+ 9.0 /（16 * 16） * 16 * 16））* 2

答案是3.199981689453125。

为什么2在最后呢？ 当然，因为（1 << 1）= 2而且“p”之后的数字是+1。 如果你有+2，那么你将使用（1 << 2）= 4作为乘数。

编辑：好的，所以需要一个相反的算法。

首先，找到（3.2 /（2 ^ x））在1和2之间的偏移量x。在这种情况下，3.2 /（2 ^ 1）= 3.2 / 2 = 1.6。

然后，输出“1” 并从结果中减去1，得到0.6

然后，将结果乘以16并取整数部分。 该产品是9.6。 输出为“9”。

然后，从结果中减去输出。 9.6 – 9 = 0.6。

重复：将结果乘以16并取整数部分。 该产品是9.6。 输出为“9”。

再次，从结果中减去输出。 9.6 – 9 = 0.6

重复这些过程。 无限广告，如果你想要完全扩展，但实际上你会在某个地方停止迭代。 最后，输出“p”和“+1”，因为功率为+1。 由于有限的浮点计算精度，接近末尾的“a”发生。

另一个编辑：要完全理解有限精度会产生什么影响，你可以阅读“每个计算机科学家应该知道的关于浮点算术的内容”，这是一篇非常着名的论文，有一个在线版本，例如： http：// docs .oracle.com / CD / E19957-01 / 806-3568 / ncg_goldberg.html

数字0.1的算法示例：我们发现0.1 /（2 ^（ – 4））= 0.1 * 2 ^ 4 = 0.1 * 16 = 1.6，介于1和2之间，因此我们选择功率-4。 所以，我们输出“1”。 然后计算（1.6-1）= 0.6并乘以16：16 * 0.6 = 9.6。 因此，我们输出“9”，减去9.6 – 9 = 0.6并再次乘以16，得到另一个“9”。 等等。 因此，给出无限浮点精度的答案是“1.9999999 …. p-4”。 但是，由于精度有限，最后一个字母似乎是“a”。 因此，该算法也适用于负功率，但您必须注意，除以负功率与乘以正功率相同。 因此，您还需要考虑负数，以选择给出介于1和2之间的值的幂。