查找整数分区的字典顺序

对于排列，给定N和k ，我有一个函数，它以字典顺序找到N第k个排列。 另外，给定一个置换perm ，我有一个函数，可以在N所有排列中找到排列的词典索引。 为此，我使用了本答案中建议的“因子分解”。

现在我想对N整数分区做同样的事情。 例如，对于N=7 ，我希望能够在索引（左）和分区（右）之间来回：

  0 ( 7 ) 1 ( 6 1 ) 2 ( 5 2 ) 3 ( 5 1 1 ) 4 ( 4 3 ) 5 ( 4 2 1 ) 6 ( 4 1 1 1 ) 7 ( 3 3 1 ) 8 ( 3 2 2 ) 9 ( 3 2 1 1 ) 10 ( 3 1 1 1 1 ) 11 ( 2 2 2 1 ) 12 ( 2 2 1 1 1 ) 13 ( 2 1 1 1 1 1 ) 14 ( 1 1 1 1 1 1 1 ) 

我尝试了一些东西。 我想出的最好的是

 sum = 0; for (int i=0; i<length; ++i) sum += part[i]*i; return sum; 

它给出了以下内容：

  0 0( 7 ) 1 1( 6 1 ) 2 2( 5 2 ) 3 3( 5 1 1 ) 3 4( 4 3 ) 4 5( 4 2 1 ) 6 6( 4 1 1 1 ) 5 7( 3 3 1 ) 6 8( 3 2 2 ) 7 9( 3 2 1 1 ) 10 10( 3 1 1 1 1 ) 9 11( 2 2 2 1 ) 11 12( 2 2 1 1 1 ) 15 13( 2 1 1 1 1 1 ) 21 14( 1 1 1 1 1 1 1 ) 

这不太有效，但似乎正在走上正轨。 我想出了这个，因为它计算了我需要移动一个数字的次数（比如6,3,2到6,3,1,1 ）。 我不知道如何解决它，因为我不知道如何解决事情必须重新组合（如6,3,1,1到6,2,2 ）。

Answer 1

想想为什么“因子分解”适用于排列，同样的逻辑在这里起作用。 但是，而不是使用k! 对于k对象的排列k ，必须使用分区函数p(n,k)表示n的最大部分为k的分区k 。 对于n=7 ，这些数字是：

 k | p(7,k) 0 | 0 1 | 1 2 | 4 3 | 8 4 | 11 5 | 13 6 | 14 7 | 15 

例如，要获得(3,2,1,1)的词典索引，您需要进行计算

 p(3+2+1+1) - [ p(3+2+1+1,3-1) + p(2+1+1,2-1) + p(1+1,1-1) + p(1,1-1) ] - 1 

这是15 - [4 + 1 + 0 + 0] - 1 = 9 。 在这里，您计算的是7个分区的数量，其中最大部分小于3加上4个分区的数量，最大部分小于2加…相同的逻辑可以反转这一点。 在C中，（未经测试的！）函数是：

 int rank(int part[], int size, int length) { int r = 0; int n = size; int k; for (int i=0; i0) { for (k=0; kn) break; } parts[length++] = k; N -= k; n -= numPar(N,k-1); } return length; } 

这里numPar(int n)应该返回numPar(int n)的分区n ， numPar(int n, int k)应该返回n的分区数，其中最大部分最多为k 。 您可以使用递归关系自己编写。

Answer 2

 #include  // number of combinations to divide by the number of k below n int partition(int n, int k){ int p,i; if(n<0) return 0; if(n<2 || k==1) return 1; for(p=0,i=1;i<=k;i++){ p+=partition(ni,i); } return p; } void part_nth_a(int n, int k, int nth){ if(n==0)return; if(n== 1 || n==k && nth == 0){ printf("%d ", n); return ; } int i, diff; for(i=0;i